Question

若存在過(guò)點(diǎn)（1，0）的直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=x³和y=ax²+

15

4

x-9都相切，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：設(shè)出所求切線(xiàn)方程的切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線(xiàn)方程得到一個(gè)等式，根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫(xiě)出切線(xiàn)的方程，把切點(diǎn)坐標(biāo)代入又得到一個(gè)等式，聯(lián)立方程組即可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到切線(xiàn)的斜率，根據(jù)已知點(diǎn)的坐標(biāo)和求出的斜率寫(xiě)出切線(xiàn)方程，再根據(jù)與y=ax²+

15

4

x-9都相切，聯(lián)立方程組，△=0可求出所求．

解答：解：設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)y=x³的切點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），
則

y0=x03 y0 x0-1 =3x02

，則切線(xiàn)的斜率k=3x₀²=0或k=

27

4

，
若k=0，此時(shí)切線(xiàn)的方程為y=0，
由

y=0 y=ax2+ 15 4 x-9

，
消去y，可得ax²+

15

4

x-9=0，
其中△=0，即（

15

4

）²+36a=0，
解可得a=-

25

64

；
若k=

27

4

，其切線(xiàn)方程為y=

27

4

（x-1），
由

y= 27 4 (x-1) y=ax2+ 15 4 x-9

，
消去y可得ax²-3x-

9

4

=0，
又由△=0，即9+9a=0，
解可得a=-1．
故a=-

25

64

或-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)求曲線(xiàn)上過(guò)某點(diǎn)切線(xiàn)方程的斜率，會(huì)根據(jù)一點(diǎn)坐標(biāo)和斜率寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，是一道綜合題．