分析:(Ⅰ)求導(dǎo)數(shù)f′(x),解不等式f′(x)>0,f′(x)<0即可;
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a),利用導(dǎo)數(shù)證明g
min(x)>0即可;
(Ⅲ)由函數(shù)極值可判斷零點(diǎn)x
0的范圍,再由f(α)>0可判斷α與x
0的大小,由
β=α-,得f(α)+f'(α)(β-α)=0,構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(α)+f'(α)(x-α),據(jù)F(x)的單調(diào)性及F(x
0)與F(β)的大小可判斷βx
0的大小,從而可以得到答案.
解答:解:(Ⅰ)由f'(x)=3x
2-4x-4=(3x+2)(x-2)=0,得
x=-或2.
則x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表:
則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為
(-∞,-),(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為
(-,2).
(Ⅱ)令g(x)=f(x)-f(a)-f'(a)(x-a),
則g'(x)=3x
2-4x-4-(3a
2-4a-4),記g'(x)=h(x),
因為當(dāng)x>2時,h'(x)=6x-4>0,則h(x)在(2,+∞)單調(diào)遞增,
又因為g'(a)=h(a)=0,
所以當(dāng)2<x<a時,g'(x)<0,當(dāng)x>a時,g'(x)>0,
所以g(x)在(2,a)遞減,在(a,+∞)遞增,又x≠a,
所以g(x)>g(a)=0成立,所以命題得證.
(Ⅲ)因為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為
(-∞,-),(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為
(-,2),且
f(-)=-<0,
所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)x
0只有一個,且x
0>2,且對(-∞,x
0)內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x,都有f(x)<0,
因為f(α)>0=f(x
0),所以α>x
0>2,所以f'(α)=(3α+2)(α-2)>0,
在(Ⅱ)的結(jié)論中,取a=α,x=x
0,
則有f(α)+f'(a)(x
0-α)<f(x
0)=0,①
由
β=α-,得f(α)+f'(α)(β-α)=0,②
構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(α)+f'(α)(x-α),
則由①得F(x
0)<0,由②得F(β)=0,所以F(x
0)<F(β),
因為f'(α)>0,所以F′(x)=f'(α)>0,所以F(x)=f(α)+f'(α)(x-α)為增函數(shù),
所以x
0<β,
因為F(α)=f(a)>0=F(β),所以β<α,
綜上得x
0<β<α.