Question

已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=-（x-1）²+1，滿足f[f（a）]=

1

2

的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為（　　）

A．2

B．4

C．6

D．8

Answer 1

令f（a）=x，則f[f（a）]=

1

2

變形為f（x）=

1

2

；
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=-（x-1）²+1=

1

2

，解得x₁=1+

2

2

，x₂=1-

2

2

；
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=

1

2

的解為x₃=-1-

2

2

，x₄=-1+

2

2

；
綜上所述，f（a）=1+

2

2

，1-

2

2

，-1-

2

2

，-1+

2

2

；
當(dāng)a≥0時(shí)，
f（a）=-（a-1）²+1=1+

2

2

，方程無(wú)解；
f（a）=-（a-1）²+1=1-

2

2

，方程有2解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1-

2

2

，方程有1解；
f（a）=-（a-1）²+1=-1+

2

2

，方程有1解；
故當(dāng)a≥0時(shí)，方程f（a）=x有4解，由偶函數(shù)的性質(zhì)，易得當(dāng)a＜0時(shí)，方程f（a）=x也有4解，
綜上所述，滿足f[f（a）]=

1

2

的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為8，
故選D．