Question

如圖，ADB為半圓，AB為直徑，O為圓心，

AB

•

OD

=0，Q為AB為的中點(diǎn)，|AB|=4，某曲線C過點(diǎn)Q，動(dòng)點(diǎn)P在曲線C上，且|PA|+|PB|的值不變．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)D的直線l與曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M、N，求△OMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）以AB和OD所在的直線為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，由題中的條件得：PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2

5

＞|AB|=4，曲線C是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，待定系數(shù)法求橢圓的方程．
（2）設(shè)直線y=kx+2，代入曲線方程，由判別式大于0得k²的范圍，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求出點(diǎn)O到直線MN的距離，用弦長公式求得MN的長度，代入三角形面積公式，再利用基本不等式求出面積的最大值．

解答：解：（1）以AB和OD所在的直線為x軸、y軸，O為原點(diǎn)，
建立直角坐標(biāo)系，∵|AB|=4，∴A（-2，0），B（2，0），D（0，2）．
∴|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2

5

＞|AB|=4，
∴曲線C是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，其長軸長2a=2

5

，2c=4，∴曲線C的方程為

x2

5

+y2=1．

（2）設(shè)直線y=kx+2，代入曲線方程得（1+5k²）+20kx+15=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則△=（20k）²-4（1+5k²）•15＞0，∴k2＞

3

5

．
∵

x1+x2= -20k 1+5k2 x1x2= 15 1+5k2

，
點(diǎn)O到直線MN的距離d=

1

1+k2

，又|MN|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

100k2-60

1+5k2

，
∴S△OMN=

1

2

|MN|•d=

1

2

1+k2

•

100k2-60

1+5k2

•

2

1+k2

=

2 25k2-15

1+5k2

．
設(shè)

25k2-15

=m，
∵k2＞

3

5

，
∴k2=

m2+15

25

，
∴S△OMN=

10m

m2+20

≤

10

2 m• 20 m

=

5

2

(m＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)m=

20

m

即m=2

5

時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)k2=

7

5

，
∴S_△OMN的最大值為

5

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式及基本不等式的應(yīng)用．