Question

10．根據下列條件求曲線的標準方程：
（1）準線方程為$x=-\frac{3}{2}$的拋物線；
（2）焦點在x軸上，且過點（2，0）、$（2\sqrt{3}，\sqrt{6}）$的雙曲線．

Answer 1

分析 （1）設拋物線的標準方程為y²=2px（p＞0），準線方程為$x=-\frac{3}{2}$，所以有$-\frac{p}{2}=-\frac{3}{2}$，故p=3，即可求出拋物線方程；
（2）設所求雙曲線的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），代入點的坐標，求出a，b，即可求出雙曲線方程．

解答 解：（1）設拋物線的標準方程為y²=2px（p＞0）．
其準線方程為$x=-\frac{3}{2}$，所以有$-\frac{p}{2}=-\frac{3}{2}$，故p=3．
因此拋物線的標準方程為 y²=6x．
（2）設所求雙曲線的標準方程為$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），
因為點（2，0），$（2\sqrt{3}，\sqrt{6}）$在雙曲線上，所以點的坐標滿足方程，
由此得$\left\{\begin{array}{l}\frac{4}{a^2}-\frac{0}{b^2}=1\\ \frac{12}{a^2}-\frac{6}{b^2}=1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a^2}=4\\{b^2}=3\end{array}\right.$，
   所求雙曲線的方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$．

點評 本題考查拋物線、雙曲線的標準方程，考查待定系數法的運用，屬于基礎題．