已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，離心率為
1
2
，橢圓C上的點到焦點距離的最大值為3．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若過點P（0，m）的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，且
AP
=3
PB
，求實數(shù)m的取值范圍．
（Ⅰ）設(shè)所求的橢圓方程為：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)
由題意：
c
a
=
1
2
a+c=3
a2=b2+c2
?
a=2
b=
3
c=1

所求橢圓方程為：
x2
4
+
y2
3
=1．…（5分）
（Ⅱ）若過點P（0，m）的斜率不存在，則m=±
3
2
．
若過點P（0，m）的直線斜率為k，
即：m≠±
3
2
時，
直線AB的方程為y-m=kx
由
y=kx+m
3x2+4y2=12
?(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，
△=64m2k2-4（3+4k2）（4m2-12），
因為AB和橢圓C交于不同兩點，
所以△＞0，4k2-m2+3＞0，
所以4k2＞m2-3    ①
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），
由已知
AP
=3
PB
，
則x1+x2=-
8km
3+4k2
，x1x2=
4m2-12
3+4k2
    ②
AP
=(-x1，m-y1)，
PB
=(x2，y2-m)-x1=3x2 ③
將③代入②得：-3(
4km
3+4k2
)2=
4m2-12
3+4k2

整理得：16m2k2-12k2+3m2-9=0
所以k2=
9-3m2
16m2-12
代入①式，
得4k2=
9-3m2
4m2-3
＞m2-3
4m2(m2-3)
4m2-3
＜0，
解得
3
4
＜m2＜3．
所以-
3
＜m＜-
3
2
或
3
2
＜m＜
3
．
綜上可得，實數(shù)m的取值范圍為：(-
3
，-
3
2
]∪[
3
2
，
3
)．…（14分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，橢圓C任意一點P到兩個焦點F1(-
3
，0)和F2(
3
，0)的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)過（0，-2）的直線l與橢圓C交于A、B兩點，且
OA
•
OB
=0（O為坐標(biāo)原點），求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，且|F1F2|=2，點P（1，
32
）在橢圓C上．
（I）求橢圓C的方程；
（II）如圖，動直線l：y=kx+m與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且F1M⊥l，F(xiàn)2M⊥l，求四邊形F1MNF2面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上且過點P(
3
，
1
2
)，離心率是
3
2
．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l過點E（-1，0）且與橢圓C交于A，B兩點，若|EA|=2|EB|，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•和平區(qū)一模）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，離心率為
1
2
，它的一個頂點恰好是拋物線y=
3
12
x2的焦點．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（II）若A、B是橢圓C上關(guān)x軸對稱的任意兩點，設(shè)P（-4，0），連接PA交橢圓C于另一點E，求證：直線BE與x軸相交于定點M；
（III）設(shè)O為坐標(biāo)原點，在（II）的條件下，過點M的直線交橢圓C于S、T兩點，求
OS
•
OT
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點，它的一條準(zhǔn)線為x=-
5
2
，離心率為
2
5
5
．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過橢圓C的右焦點F作直線l交橢圓于A、B兩點，交y軸于M點，若
MA
=λ1
AF
， 
MB
=λ2
BF
，求λ1+λ2的值．

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