Question

已知向量，把向量繞坐標原點O按逆時針方向旋圍θ角得到向量，則下列說法不正確的為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   、在方向上的投影相等

Answer 1

A
分析：如圖，作出以OA、OB為鄰邊的平行四邊形OACB，根據(jù)題意可得到四邊形OACB是菱形且不是矩形．然后根據(jù)矩形的對角線相等，得到A項不正確；根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，得到B項正確；根據(jù)菱形的對角線互相垂直得到C項正確；根據(jù)菱形的性質(zhì)和向量投影的概念，得到D項正確．由此得到正確答案．
解答：如圖，根據(jù)向量加法的平等四邊形法則，可得
設OC是以OA、OB為鄰邊的平等四邊形的對角線，則有，
又由向量減法的三角形法則，得．
由于向量繞坐標原點O按逆時針方向旋圍θ角得到向量，
且角θ∈（0°，90°），所以四邊形OACB是菱形且不是矩形．
接下來說明各項的正誤及其原因：
對于A，由于四邊形OACB不是矩形，它的對角線不相等，即，
也就是，故A不正確；
對于B，在三角形OAC中，有，而向量，因此有，故B正確；
對于C，因為四邊形OACB是菱形，所以對角線BA與OC互相垂直，因此有，故C正確；
對于D，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，得到在上的投影等于，
在上的投影等于，因為四邊形OACB是菱形，所以OC是∠AOB的平分線，即cos∠COA=cos∠COB，所以有，
可得、在方向上的投影相等，故D正確．
綜上所述，中只有A項是不正確的．
故選A
點評：本題借助于一個向量的旋轉得到另一個向量，來判斷它們和和向量與差向量的位置關系與大小比較，著重考查了向量加法、減法的法則和向量投影的概念，屬于基礎題．