Question

已知點（1，）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象上一點，等比數(shù)列{a_n}的前n項和為f（n）-c，數(shù)列{b_n}（b_n＞0）的首項為c，且前n項和S_n滿足：S_n-S_n-1=+（n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）若數(shù)列{c_n}的通項c_n=b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項和R_n；
（3）若數(shù)列{}前n項和為T_n，問T_n＞的最小正整數(shù)n是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）由點（1，）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象上一點，求出函數(shù)解析式，根據(jù)等比數(shù)列{a_n}的前n項和為f（n）-c，依次求出a₁，a₂，a₃，然后由求出c，則首項和公比可求，所以通項公式可求，再由數(shù)列{b_n}（b_n＞0）的首項為c，且前n項和S_n滿足：S_n-S_n-1=+（n≥2）．展開等式左邊約分后可得數(shù)列{}為首項為1公差為1的等差數(shù)列，求出S_n后，由b_n=S_n-S_n-1（n≥2）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）把數(shù)列{b_n}的通項公式代入數(shù)列{c_n}的通項c_n=b_n，然后運用錯位相減法求數(shù)列{c_n}的前n項和；
（3）運用裂項相消法求出數(shù)列{}前n項和為T_n，代入T_n＞進行求解．
解答：解：（1）因為點（1，）是函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的圖象上一點，
所以，所以，．
因為等比數(shù)列{a_n}的前n項和為f（n）-c，
所以，
a₂=[f（2）-c]-[f（1）-c]=，
a₃=[f（3）-c]-[f（2）-c]=．
又數(shù)列{a_n}成等比數(shù)列，所以，，所以c=1．
所以．
又公比q=
所以．
由數(shù)列{b_n}的前n項和滿足S_n-S_n-1=+（n≥2）．
則  （n≥2），
又b_n＞0，，所以．
所以，數(shù)列{}構(gòu)成一個首項為1公差為1的等差數(shù)列，
則，所以．
當(dāng)n≥2時，，
滿足b₁=c=1．
所以，；
（2）由，
所以R_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=①
兩邊同時乘以得：
+…+②
①式減②式得：


化簡得：=

所以．
（3）
=
=
=；
由，得n＞，所以，滿足的最小正整數(shù)為112．
點評：本題考查了等差和等比數(shù)列的通項公式，考查了錯位相減法和裂項相消法求數(shù)列的前n項的和，比較綜合考查了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，考查了學(xué)生的計算能力，特別是（1）中求解兩個數(shù)列的通項公式，需要有一定的靈活變化技巧，此題屬于難題．