Question

如圖，M，N是拋物線C₁：x²=4y上的兩動(dòng)點(diǎn)（M，N異于原點(diǎn)O），且∠OMN的角平分線垂直于y軸，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，B．
（1）求實(shí)數(shù)λ，μ的值，使得；
（2）若中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C₂經(jīng)過A，M．求橢圓C₂焦距的最大值及此時(shí)的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由∠OMN的角平分線垂直于y軸知，直線OM與直線MN的傾斜角互補(bǔ)，從而斜率之和等于0，確定B，M，N的坐標(biāo)代入中，即可求得結(jié)論；
（2）設(shè)橢圓C₂的方程為（a＞b＞0），將A（2x₁，0），M（）代入，得，從而可得，進(jìn)而可表示橢圓C₂的焦距，利用基本不等式確定最值，從而可得橢圓C₂的方程．
解答：解：（1）設(shè)M（），N（），x₁x₂≠0，x₁≠x₂
由∠OMN的角平分線垂直于y軸知，直線OM與直線MN的傾斜角互補(bǔ)，從而斜率之和等于0，即+=0
化簡(jiǎn)得x₂=-2x₁．（3分）
由點(diǎn)M（），N知，直線MN的方程為．
分別在其中令y=0及x=0得A（2x₁，0），B（0，）．（5分）
將B，M，N的坐標(biāo)代入中得，（7分）
所以，（8分）
（2）設(shè)橢圓C₂的方程為（a＞b＞0），
將A（2x₁，0），M（）代入，得，（9分）
解得，由a²＞b²得．（10分）
橢圓C₂的焦距2c=（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取等號(hào)，故，（13分）
此時(shí)橢圓C₂的方程為（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線的斜率、拋物線的切線、兩直線平行的位置關(guān)系，橢圓的基本性質(zhì)，考查學(xué)生運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．