Question

如圖，橢圓長軸端點為A，B，O為橢圓中心，F為橢圓的右焦點，且，．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）記橢圓的上頂點為M，直線l交橢圓于P，Q兩點，問：是否存在直線l，使點F恰為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解．（1）如圖建系，設橢圓方程為，則c=1
又∵即（a+c）（a﹣c）=1=a²﹣c²，
∴a²=2
故橢圓方程為
（2）假設存在直線l交橢圓于P，Q兩點，且F恰為△PQM的垂心，
則設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
∵M（0，1），F（1，0），
故k_PQ=1，
于是設直線l為y=x+m，
由得3x²+4mx+2m²﹣2=0
∵
又y_i=x_i+m（i=1，2）
得x₁（x₂﹣1）+（x₂+m）（x₁+m﹣1）=0
即2x₁x₂+（x₁+x₂）（m﹣1）+m²﹣m=0
由韋達定理得
解得或m=1（舍）
經檢驗符合條件