Question

設函數，其中a＞0，
（1）解不等式f（x）≤1；
（2）證明：當a≥1時，函數f（x）在區(qū)間[0，+∞]上是單調函數．

Answer 1

【答案】分析：（1）不等式f（x）≤1，轉化為一元二次不等式組，根據a的范圍求解不等式即可．
（2）當a≥1時，利用函數單調性的定義，即：在區(qū)間[0，+∞）上任取x₁，x₂，使得x₁＜x₂，證明f（x₁）-f（x₂）＞0，從而證明函數f（x）在區(qū)間[0，+∞]上是單調減函數．
解答：（1）解：不等式f（x）≤1即，
由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常數a＞0．
所以，原不等式等價于
即（3分）
所以，當0＜a＜1時，所給不等式的解集為；
當a≥1時，所給不等式的解集為{x|x≥0}．（6分）
（2）證明：在區(qū)間[0，+∞）上任取x₁，x₂
使得x₁＜x₂
=
=
∵，
∴，
又x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂）．
所以，當a≥1時，函數f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調遞減函數．（12分）
點評：本小題主要考查不等式的解法、函數的單調性等基本知識，分類討論的數學思想方法和運算、推理能力．