Question

（1）若n（n∈N^*）個棱長為正整數(shù)的正方體的體積之和等于2005，求n的最小值，并說明理由；
（2）若n（n∈N^*）個棱長為正整數(shù)的正方體的體積之和等于2002²⁰⁰⁵，求n的最小值，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由2005=1728+125+125+27=12³+5³+5³+3³，可得n=4時滿足條件，進(jìn)而分析出n=1，n=2，n=3均不存在滿足條件的分解方法，可得答案；
（2）由2002²⁰⁰⁵≡4²⁰⁰⁵≡4^668×3+1≡（4³）⁶⁶⁸×4≡4（mod9），當(dāng)x∈N^*時，x³≡0，±1（mod9），x134（mod9），x13+x234（mod9），x13+x23+x334（mod9），可得n=1，n=2，n=3均不存在滿足條件的分解方法，而2002²⁰⁰⁵=2002²⁰⁰⁴×（10³+10³+1+1）=（2002⁶⁶⁸×10）³+（2002⁶⁶⁸×10）³+（2002⁶⁶⁸）³+（2002⁶⁶⁸）³．因此n=4為所求的最小值．

解答：解：（1）因為10³=1000，11³=1331，12³=1728，13³=2197，
12³＜2005＜13³，
故n≠1．
因為2005=1728+125+125+27=12³+5³+5³+3³，所以存在n=4，滿足題意；                   
若n=2，由10³+10³＜2005，得較大正文體邊長大于11且小于13，即為11或12
∵2005-11³=674，2005-12³=277，
而674 與277均不是完全立方數(shù)，
故n≠2
若n=3，設(shè)此三個正方體中最大一個的棱長為x，由8³+8³+8³＜2005，得較大正文體邊長大于8且小于13，即為9或10或11或12
由于2005-2×9³=547，不是完全立方數(shù)
2005-9³-2×8³＞0，故x=9不滿足要求；
同理可證x=10，x=11，x=12均不滿足要求；
故n≠3
綜上所述，n的最小值為4．
（2）設(shè)n個正方體的棱長分別是x₁，x₂，…，x_n
則x13+x23+…+xn3=2002²⁰⁰⁵…⑤
由2002≡4（mod9），4³≡1（mod9），
2002²⁰⁰⁵≡4²⁰⁰⁵≡4^668×3+1≡（4³）⁶⁶⁸×4≡4（mod9）…⑥
又當(dāng)x∈N^*時，x³≡0，±1（mod9），
所以x134（mod9），x13+x234（mod9），x13+x23+x334（mod9），…⑦
由 ⑥、⑦可知，n≥4．
而2002=10³+10³+1+1，則
2002²⁰⁰⁵=2002²⁰⁰⁴×（10³+10³+1+1）
=（2002⁶⁶⁸×10）³+（2002⁶⁶⁸×10）³+（2002⁶⁶⁸）³+（2002⁶⁶⁸）³．
因此n=4為所求的最小值．

點評：本題考查的知識點是邏輯推理，本題難度較大，運算強(qiáng)度和思路都不易得到，屬于難題．