已知,,圓,一動圓在軸右側(cè)與軸相切,同時與圓相外切,此動圓的圓心軌跡為曲線C,曲線E是以,為焦點的橢圓。
(1)求曲線C的方程;
(2)設曲線C與曲線E相交于第一象限點P,且,求曲線E的標準方程;
(3)在(1)、(2)的條件下,直線與橢圓E相交于A,B兩點,若AB的中點M在曲線C上,求直線的斜率的取值范圍。
(1);(2)

試題分析:(1)設動圓圓心的坐標為(x,y)(x>0),由動圓在y軸右側(cè)與y軸相切,同時與圓F2相外切,知|CF2|-x=1,由此能求出曲線C的方程.
(2)依題意,c=1,|PF1|=,得xp=,由此能求出曲線E的標準方程.
(3)設直線l與橢圓E交點A(x1,y1),B(x2,y2),A,B的中點M的坐標為(x0,y0),將A,B的坐標代入橢圓方程中,得3(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0,由此能夠求出直線l的斜率k的取值范圍
解:(1)設動圓圓心的坐標為(x,y)(x>0)
因為動圓在y軸右側(cè)與y軸相切,同時與圓F2相外切,
所以|CF2|-x=1,…(1分)
∴(x-1)2+y2=x+1化簡整理得y2=4x,曲線C的方程為y2=4x(x>0); …(3分)(2)依題意,c=1,|PF1|=,得xp=,…(4分)∴|PF2|=,又由橢圓定義得2a=|PF1|+|PF2|=4,a=2.…(5分)∴b2=a2-c2=3,所以曲線E的標準方程為
=1.…(6分)(3)設直線l與橢圓E交點A(x1,y1),B(x2,y2),A,B的中點M的坐標為(x0,y0),將A,B的坐標代入橢圓方程中,得3x12+4y12-12=0,3x22+4y22-12=0兩式相減得3(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0,∴=-,…(7分)∵y02=4x0,∴直線AB的斜率k==-y0,…(8分)由(2)知xp=,∴yp2=4xp=,∴yp由題設-<y0 (y0≠0),∴-<-y0,…(10分)即-<k<(k≠0).…(12分)
點評:本題考查曲線方程的求法,考查直線的斜率的取值范圍的求法,解題時要認真審題,注意點差法和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.
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