Question

已知橢圓:的離心率為,過右焦點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于兩點(diǎn),為弦的中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求直線的斜率；

(2)求證:對于橢圓上的任意一點(diǎn),都存在,使得成立.

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2) 顯然與可作為平面向量的一組基底,由平面向量基本定理,對于這一平面內(nèi)的向量,有且只有一對實(shí)數(shù),使得等式成立.,那么設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，結(jié)合向量的坐標(biāo)關(guān)系來證明。

【解析】

試題分析：解:(1)設(shè)橢圓的焦距為,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013052408172181357080/SYS201305240817594072656578_DA.files/image008.png">,所以有,故有.

從而橢圓的方程可化為: 

①  知右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(),據(jù)題意有所在的直線方程為:. ②由①,②有:.                                        

③設(shè),弦的中點(diǎn),由③及韋達(dá)定理有:

 

所以,即為所求.                       5分

(2)顯然與可作為平面向量的一組基底,由平面向量基本定理,對于這一平面內(nèi)的向量,有且只有一對實(shí)數(shù),使得等式成立.設(shè),由(1)中各點(diǎn)的坐標(biāo)有:

,故.   7分

又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以有整理可得:

.       ④

由③有:.所以

   ⑤又點(diǎn)在橢圓上,故有 .      

⑥將⑤,⑥代入④可得:.                 11分

所以,對于橢圓上的每一個(gè)點(diǎn),總存在一對實(shí)數(shù),使等式成立,且.

所以存在,使得.也就是:對于橢圓上任意一點(diǎn) ,總存在,使得等式成立.         13分

考點(diǎn)：橢圓的方程和性質(zhì)，以及向量的加減法

點(diǎn)評：解決的關(guān)鍵是根據(jù)橢圓的性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。