Question

（本小題滿分14分）已知函數(shù)

（Ⅰ）若，試確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若，且對于任意，恒成立，試確定實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調(diào)遞增區(qū)間是，的單調(diào)遞減區(qū)間是．

（Ⅱ）． （Ⅲ）見解析。

【解析】

試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，只要解導(dǎo)數(shù)的不等式即可，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（2）函數(shù)f（|x|）是偶函數(shù)，只要f（x）＞0對任意x≥0恒成立即可，等價于f（x）在[0，+∞）的最小值大于零．

（3），

，利用指數(shù)不等式放縮的都證明。

解：（Ⅰ）由得，所以．

    由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間是，

由得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是．（6分）（3分）

（Ⅱ）由可知是偶函數(shù)．

于是對任意成立等價于對任意成立．（8分）（5分）

由得．

①當(dāng)時，． 此時在上單調(diào)遞增．

     故，符合題意．  （10分）（7分）

②當(dāng)時，．當(dāng)變化時的變化情況如下表

	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

 

 

 

 

 

由此可得，在上，．

依題意，，又．（13分）（9分）

綜合①，②得，實(shí)數(shù)的取值范圍是．（14分）（10分）

（Ⅲ），

，

，

 

由此得，

故．（（14分）

考點(diǎn)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性、最值和中的應(yīng)用，考查等價轉(zhuǎn)化的思想方法以及分析問題的能力．

點(diǎn)評：本題的第二問實(shí)際上是e^x-kx＞0在[0，+∞）上恒成立，也可以分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行解答，即：當(dāng)x=0時，k∈R；當(dāng)x＞0時，由e^x-kx＞0，得k＜，令φ(x)= ，只要k＜[φ（x）]_min即可。