Question

△ABC中，A，B，C所對的邊分別為a，b，c，tanC=

sinA+sinB

cosA+cosB

，sin（B-A）=cosC．
（1）求A，C；
（2）若S_△ABC=3+

3

，求a，c．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將正切化為正余弦之比再相乘可得到3內(nèi)角的正弦關(guān)系式，再由sin（B-A）=cosC可求出答案．
（2）先根據(jù)正弦定理得到a與c的關(guān)系，再利用三角形的面積公式可得答案．

解答：解：（1）因為tanC=

sinA+sinB

cosA+cosB

所以左邊切化弦對角相乘得到
sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，
所以sin（C-A）=sin（B-C）．
所以C-A=B-C或C-A=π-（B-C）（不成立）
即2C=A+B，C=60°，
所以A+B=120°，
又因為sin（B-A）=cosC=

1

2

，
所以B-A=30°或B-A=150°（舍），
所以A=45°，C=60°．
（2）由（1）知A=45°，C=60°∴B=75°∴sinB=

6 + 2

4

根據(jù)正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

即：

a

2 2

=

c

3 2

∴a=

2

3

c
S=

1

2

acsinB=

1

2

×

2

3

c2×

6 + 2

4

=3+

3

∴c²=12∴c=2

3

∴a=

2

3

c=2

2

點評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和正弦定理與三角形面積公式的應用．對于三角函數(shù)這一部分公式比較多，要強化記憶．