Question

某種商品在30天內(nèi)每克的銷售價(jià)格P（元）與時(shí)間t的函數(shù)圖象是如圖所示的兩條線段AB，CD（不包含A，B兩點(diǎn)）；該商品在30天內(nèi)日銷售量Q（克）與時(shí)間t（天）之間的函數(shù)關(guān)系如表所示．

第t天	5	15	20	30
銷售量Q克	35	25	20	10

（1）根據(jù)提供的圖象，寫出該商品每克的銷售價(jià)格P（元）與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)寫出一個(gè)反映日銷售量Q隨時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上求該商品的日銷售金額的最大值，并求出對(duì)應(yīng)的t值．
（注：日銷售金額=每克的銷售價(jià)格×日銷售量）

Answer 1

解：（1）由圖可知 A（0，20），B（25，45），C（25，75），D（30，70），
設(shè)AB所在的直線方程為P=kt+20，
把B（25，45）代入P=kt+20得 k=1．
所以l_AB：P=t+20．
由兩點(diǎn)式得CD所在的直線方程為．
整理得，P=-t+100，25≤t≤30，
所以．
（2）設(shè)Q=k₁t+b，把兩點(diǎn)（5，35），（15，25）的坐標(biāo)代入得，
解得
所以Q=-t+40．
把點(diǎn)（20，20），（30，10）代入Q=-t+40也適合，
即對(duì)應(yīng)的四點(diǎn)都在同一條直線上，
所以Q=-t+40（0＜t≤30）．
（本題若把四點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)代入Q=k₁t+b中求出k₁，b，再驗(yàn)證也可以）
（3）設(shè)日銷售金額為y，依題意得，
當(dāng)0＜t＜25時(shí)，y=（t+20）（-t+40），
配方整理得 y=-（t-10）²+900．
所以當(dāng)t=10時(shí)，y在區(qū)間（0，25）上的最大值為900，
當(dāng)25≤t≤30時(shí)，y=（-t+100）（-t+40），
配方整理得y=（t-70）²-900，
所以當(dāng)t=25時(shí)，y在區(qū)間[25，30]上的最大值為1125．
綜上可知日銷售金額最大值為1125元，此時(shí)t為25．
分析：（1）設(shè)AB所在的直線方程為P=kt+20，將B點(diǎn)代入可得k值，由CD兩點(diǎn)坐標(biāo)可得直線CD所在的兩點(diǎn)式方程，進(jìn)而可得銷售價(jià)格P（元）與時(shí)間t的分段函數(shù)關(guān)系式．
（2）設(shè)Q=k₁t+b，把兩點(diǎn)（5，35），（15，25）的坐標(biāo)代入，可得日銷售量Q隨時(shí)間t變化的函數(shù)的解析式
（3）設(shè)日銷售金額為y，根據(jù)銷售金額=銷售價(jià)格×日銷售量，結(jié)合（1）（2）的結(jié)論得到答案．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查具體的函數(shù)模型在實(shí)際問題中的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及應(yīng)用意識(shí)和運(yùn)算求解能力