【題目】已知橢圓經(jīng)過點,且兩焦點與短軸的一個端點構(gòu)成等腰直角三角形.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若圓的任意一條切線與橢圓E相交于P,Q兩點,試問: 是否為定值? 若是,求這個定值;若不是,說明理由.
【答案】(1)(2)定值0.
【解析】試題分析:(1)由等腰直角三角形性質(zhì)得,而滿足橢圓方程,解方程組可得, ,(2)由向量數(shù)量積坐標(biāo)表示得,又結(jié)合直線方程可得,聯(lián)立直線方程與橢圓方程,利用韋達定理代入化簡可得=0
試題解析:解:(Ⅰ)橢圓的兩焦點與短軸的一個端點連線構(gòu)成等腰直角三角形,所以,故橢圓的方程為.又因為橢圓經(jīng)過點,代入可得,所以,故所求橢圓方程為.
(Ⅱ)①當(dāng)的斜率不存在時, 的方程或
或
②當(dāng)的斜率存在時,設(shè)方程,則滿足: ,
即……………………………………※
又由,
所以
故
,
由※知=0, 綜合①②可知為定值0.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= ,x∈[2,5].
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并用定義證明你的結(jié)論;
(2)求不等式f(m+1)<f(2m﹣1)的解集.
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【題目】設(shè)x,y,a∈R* , 且當(dāng)x+2y=1時, + 的最小值為6 ,則當(dāng) + =1時,3x+ay的最小值是( )
A.6
B.6
C.12
D.12
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【題目】設(shè)關(guān)于x的方程x2+px﹣12=0和x2+qx+r=0的解集分別是A,B,且A≠B.A∪B={﹣3,2,4},A∩B={﹣3}.求p,q,r的值.
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【題目】設(shè)復(fù)數(shù)z=a+i(i是虛數(shù)單位,a∈R,a>0),且|z|= .
(Ⅰ)求復(fù)數(shù)z;
(Ⅱ)在復(fù)平面內(nèi),若復(fù)數(shù)+(m∈R)對應(yīng)的點在第四象限,求實數(shù)m取值范圍.
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【題目】給出下列四個命題:
①函數(shù)y=|x|與函數(shù)y=( )2表示同一個函數(shù);
②奇函數(shù)的圖象一定通過直角坐標(biāo)系的原點;
③若函數(shù)f(x)的定義域為[0,2],則函數(shù)f(2x)的定義域為[0,4];
④設(shè)函數(shù)f(x)是在區(qū)間[a,b]上圖象連續(xù)的函數(shù),且f(a)f(b)<0,則方程f(x)=0在區(qū)間[a,b]上至少有一實根;
其中正確命題的序號是(填上所有正確命題的序號)
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【題目】已知函數(shù)f(x)=3x , f(a+2)=27,函數(shù)g(x)=λ2ax﹣4x的定義域為[0,2].
(1)求a的值;
(2)若λ=2,試判斷函數(shù)g(x)在[0,2]上的單調(diào)性,并加以證明;
(3)若函數(shù)g(x)的最大值是 ,求λ的值.
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