如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中有一直角梯形ABCD，AB的中點(diǎn)為O，AD⊥AB，AD∥BC，AB＝4，BC＝3，AD＝1，以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C.

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若點(diǎn)E(0,1)，問是否存在直線l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)且|ME|＝|NE|，若存在，求出直線l斜率的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

解：(1)連接AC，依題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

＋＝1(a＞b＞0)，

在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝5.

∴CA＋CB＝5＋3＝2a，a＝4.

又2c＝4，∴c＝2，

從而b＝ ＝2，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.

(2)由題意知，當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，不滿足|ME|＝|NE|，

當(dāng)l與x軸平行時(shí)，|ME|＝|NE|顯然成立，此時(shí)k＝0.

設(shè)直線l的方程為y＝kx＋m(k≠0)，

∴16k2＋12＞m2.①

令M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中點(diǎn)為F(x0，y0)，

綜上所述，存在滿足條件的直線l，且其斜率k的取值范圍為(－，)．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2009•杭州二模）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，銳角△ABC內(nèi)接于圓x2+y2=1．已知BC平行于x軸，AB所在直線方程為y=kx+m（k＞0），記角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c．
（1）若3k=
2ac
a2+c2-b2
，求cos2
A+C
2
+sin2B的值；
（2）若k=2，記∠xOA=α(0＜α＜
π
2
)，∠xOB=β(π＜β＜
3π
2
)，求sin(α+β)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標(biāo)系中，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上的橢圓G的離心率為e=
15
4
，左頂點(diǎn)A（-4，0），圓O'：（x-2）2+y2=r2是橢圓G的內(nèi)接△ABC的內(nèi)切圓．
（Ⅰ） 求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求圓O'的半徑r；
（Ⅲ）過M（0，1）作圓G的兩條切線交橢圓于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，判斷直線EF與圓O'的位置關(guān)系，并證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•石景山區(qū)二模）如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，角α的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)A，且α∈(
π
6
，
π
2
)．將角α的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)
π
3
，交單位圓于點(diǎn)B．記A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）若x1=
1
3
，求x2；
（Ⅱ）分別過A，B作x軸的垂線，垂足依次為C，D．記△AOC的面積為S1，△BOD的面積為S2．若S1=2S2，求角α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，角α的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊交單位圓于點(diǎn)A，且α∈(
π
3
，
π
2
)．將角α的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)
π
6
，交單位圓于點(diǎn)B．記A（x1，y1），B（x2，y2）．
（Ⅰ）若x1=
1
4
，求x2； 
（Ⅱ）分別過A，B作x軸的垂線，垂足依次為C，D．記△AOC的面積為S1，△BOD的面積為S2．若S1=S2，求角α的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知射線OA：x-y=0（x≥0），OB：
3
x+3y=0（x≥0），過點(diǎn)P（a，0）（a＞0）作直線l分別交射線OA，OB于A，B兩點(diǎn)，且
AP
=2
PB
，則直線l的斜率為
 
．

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