Question

20．已知不等式9x²-log_ax＜0，當(dāng)$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{3}}）$時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{1}{3}$，1）．

Answer 1

分析 不等式9x²-log_ax＜0，當(dāng)$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{3}}）$時(shí)恒成立?log_ax＞9x²，當(dāng)$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{3}}）$時(shí)恒成立，即[log_ax]_min＞[9x²]_max，利用對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性可得log_a$\frac{1}{3}$≥9×${（\frac{1}{3}）}^{2}$，從而可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：不等式9x²-log_ax＜0，當(dāng)$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{3}}）$時(shí)恒成立?log_ax＞9x²，當(dāng)$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{3}}）$時(shí)恒成立，
∴[log_ax]_min＞[9x²]_max，
又0＜a＜1，
∴y=log_ax在區(qū)間（0，$\frac{1}{3}$）上單調(diào)遞減，又y=9x²在區(qū)間（0，$\frac{1}{3}$）上單調(diào)遞增，
∴l(xiāng)og_a$\frac{1}{3}$≥9×${（\frac{1}{3}）}^{2}$=1，
∴$\frac{1}{3}$≤a＜1，
故答案為：[$\frac{1}{3}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問題，依題意，得到當(dāng)$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{3}}）$時(shí)，[log_ax]_min＞[9x²]_max是關(guān)鍵，考查對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性的綜合運(yùn)用，漏掉等號(hào)是易錯(cuò)點(diǎn)，屬于難題．