已知曲線C1:y=x2與C2:y=-(x-2)2,若直線l與C1、C2都相切,求直線l的方程.

分析：設出直線l與C1、C2的切點坐標,可以分別用一個參數(shù)來表示,利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,利用斜率相等可求出兩切點的坐標.

解法一：設直線l與兩曲線的切點的坐標分別為A(a,a2),B(b,-(b-2)2).

因為兩曲線對應函數(shù)的導函數(shù)分別為y1′=2x,y2′=-2(x-2)，

所以在A、B兩點處兩曲線的斜率分別為y1′|x=a=2a,y2′|x=b=-2(b-2).

由題意,可得=2a=-2b+4,

解得

所以A為(2,4)或(0,0),切線的斜率k=4或0,從而得到切線l的方程為y=4x-4或y=0.

解法二：設l與C1、C2的切點的橫坐標分別為a、b,直線l的斜率為k,

根據(jù)題意,得y1′=2x,y2′=-2(x-2).

y1′|x=a=2a,y2′|x=b=-2(b-2).

由k=2a=-2b+4,可得a=,b=,

則l與C1、C2的切點的坐標分別為

則,解得k=0或4.

故所求的切線方程為y=4x-4或y=0.

綠色通道:

本題是導數(shù)的一個具體的應用,在解題過程中一般先設出切點的坐標,再利用方程組求出參數(shù)的取值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C1：
|x|
a
+
|y|
b
=1(a＞b＞0)所圍成的封閉圖形的面積為4
5
，曲線C1的內切圓半徑為
2
5
3
．記C2為以曲線C1與坐標軸的交點為頂點的橢圓．
（Ⅰ）求橢圓C2的標準方程；
（Ⅱ）設AB是過橢圓C2中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線．M是l上異于橢圓中心的點．
（1）若|MO|=λ|OA|（O為坐標原點），當點A在橢圓C2上運動時，求點M的軌跡方程；
（2）若M是l與橢圓C2的交點，求△AMB的面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C1：
x=-4+cost
y=3+sint
（t為參數(shù)），C2：
x=8cosθ
y=3sinθ
（θ為參數(shù)）．
（Ⅰ）將C1，C2的方程化為普通方程；
（Ⅱ）若C1上的點P對應的參數(shù)為DF=
MF2+DM2
=
302+1702
=10
198
，Q為C2上的動點，求PQ中點M到直線C3：x-2y-7=0距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖南）在直角坐標系xoy 中，已知曲線C1：
x=t+1
y=1-2t
（t為參數(shù)）與曲線C2：
x=asinθ
y=3cosθ
（θ為參數(shù)，a＞0 ）有一個公共點在X軸上，則a等于
3
2
3
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•綿陽二模）已知曲線C1：
x=cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)）和曲線C2=：x2+y2-2
3
x+2y+3=0義于直線l1對稱，直線l2過原點且與l1的夾角為30°，則直線l2的方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C1：
x=-2+cost
y=1+sint
 （t為參數(shù)），C2：
x=4cosθ
y=3sinθ
（q為參數(shù)）．
（Ⅰ）化C1，C2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；
（Ⅱ）過曲線C2的左頂點且傾斜角為
π
4
的直線l交曲絨C1于A，B兩點，求|AB|．

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