Question

在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為  (t為參數(shù))，在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為

ρ＝2sin θ.

(1)求圓C的直角坐標方程；

(2)設(shè)圓C與直線l交于點A、B，若點P的坐標為(3，)，求|PA|＋|PB|.

Answer 1

解：(1)由ρ＝2sin θ，得x²＋y²－2y＝0，

即x²＋(y－)²＝5.                 -----------5分

(2)法一：將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標方程，

得(3－t)²＋(t)²＝5，    即t²－3t＋4＝0.

由于Δ＝(3)²－4×4＝2>0，故可設(shè)t₁，t₂是上述方程的兩實根，

所以

又直線l過點P(3，)，

故由上式及t的幾何意義得|PA|＋|PB|＝|t₁|＋|t₂|＝t₁＋t₂＝3.-----------10分

(2)法二：因為圓C的圓心為(0，)，半徑r＝，

直線l的普通方程為：y＝－x＋3＋.

由得x²－3x＋2＝0.

解得：

不妨設(shè)A(1,2＋)，B(2,1＋)，

又點P的坐標為(3，)，

故|PA|＋|PB|＝＋＝3.                         -----------10分