Question

設f（x）=2^x+

a

2x

-1（a為常數）．
（1）當a＜0，試判斷f（x）在R上的單調性；
（2）若a=0，且y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，求g（x）的解析式；
（3）試確定關于x的方程f（x）=0的實數集上有解的條件．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數解析式的求解及常用方法

專題：分類討論,函數的性質及應用

分析：（1）由復合函數的單調性判斷f（x）是R上是增函數；
（2）根據y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，求出g（x）的解析式；
（3）方程f（x）=0在實數集上有解，即函數f（x）有零點，討論a的值，求出f（x）=0在實數集上有解的條件．

解答： 解：（1）∵f（x）=2^x+

a

2x

-1（a為常數），
當a＜0時，y=2^x在R上是增函數，
∴y=

1

2x

在R上是減函數，
∴y=

a

2x

在R上是增函數，
∴f（x）=2^x+

a

2x

在R上是增函數；
（2）當a=0時，f（x）=2^x-1，
∵y=g（x）的圖象與y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴g（x）=2^2-x-1；
（3）∵方程f（x）=0在實數集上有解，
且f（x）=2^x+

a

2x

-1，
∴①當a＜0時，f（x）在R上是增函數，且f（0）=1+a-1=a＜0，滿足題意；
②當a=0時，f（x）=2^x-1，且f（0）=1-1=0，滿足題意；
③當a＞0時，f（x）=2^x+

a

2x

-1≥2

a

-1，令2

a

-1≤0，解得a≤

1

4

；
綜上，a≤

1

4

；
∴方程f（x）=0在實數集上有解的條件是{a|a≤

1

4

}．

點評：本題考查了函數的單調性與對稱性的應用問題，也考查了函數的零點與對應方程實數解的問題，考查了分類討論思想，是中檔題．