Question

已知函數(shù)，f（x）的導函數(shù)是f′（x）．對任意兩個不相等的正數(shù)x₁、x₂，證明：
（Ⅰ）當a≤0時，；
（Ⅱ）當a≤4時，|f′（x₁）-f′（x₂）|＞|x₁-x₂|．

Answer 1

【答案】分析：（1）將x₁，x₂代入整理，再由基本不等式可證．
（2）先對函數(shù)f（x）進行求導，將x₁，x₂代入整理變形，轉(zhuǎn)化為證明對任意兩個不相等的正數(shù)x₁，x₂，有恒成立，從而得證．
解答：解：證明：（Ⅰ）由
得=
而①
又（x₁+x₂）²=（x₁²+x₂²）+2x₁x₂＞4x₁x₂
∴②
∵
∴
∵a≤0，
aln ≥aln（③
由①、②、③得（x₁²+x₂²）++aln ＞（）²++aln，
即．
（Ⅱ）證法一：由，得
∴=
下面證明對任意兩個不相等的正數(shù)x₁，x₂，有恒成立
即證成立
∵
設(shè)，
則，
令u′（x）=0得，列表如下：

∴
∴對任意兩個不相等的正數(shù)x₁，x₂，恒有|f'（x₁）-f'（x₂）|＞|x₁-x₂|
證法二：由，
得
∴=
∵x₁，x₂是兩個不相等的正數(shù)
∴
設(shè)，u（t）=2+4t³-4t²（t＞0）
則u′（t）=4t（3t-2），列表：

∴即
∴
即對任意兩個不相等的正數(shù)x₁，x₂，恒有|f′（x₁）-f′（x₂）|＞|x₁-x₂|
點評：本小題主要考查導數(shù)的基本性質(zhì)和應用，函數(shù)的性質(zhì)和平均值不等式等知識及綜合分析、推理論證的能力．