Question

【題目】給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”.若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為.

（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；

（2）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線的方程并證明；

②求證：線段的長(zhǎng)為定值.

Answer 1

【答案】（1）橢圓方程為，準(zhǔn)圓方程為；（2）①，證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，得到橢圓方程和準(zhǔn)圓方程.

（2）（�。┰O(shè)直線為，聯(lián)立方程計(jì)算得到，得到答案.

（ⅱ）考慮斜率存在和不存在兩種情況，設(shè)點(diǎn)，切線為，聯(lián)立方程得到，，得到直線垂直，得到線段為準(zhǔn)圓的直徑，得到答案.

（1），橢圓方程為，準(zhǔn)圓方程為.

（2）（ⅰ）因?yàn)闇?zhǔn)圓與軸正半軸的交點(diǎn)為，

設(shè)過(guò)點(diǎn)且與橢圓相切的直線為，

所以由得.

因?yàn)橹本�與橢圓相切，所以，解得，

所以方程為，，.

（ⅱ）①當(dāng)直線中有一條斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線斜率不存在，

則：，當(dāng)：時(shí)，與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)，

此時(shí)為（或），顯然直線垂直；

同理可證當(dāng)：時(shí)，直線垂直

②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)點(diǎn)，其中.

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓相切的直線為，

所以由得.

由化簡(jiǎn)整理得，

因?yàn)?/span>，所以有.

設(shè)的斜率分別為，因?yàn)?/span>與橢圓相切，

所以滿足上述方程，

所以，即垂直.

綜合①②知：因?yàn)?/span>經(jīng)過(guò)點(diǎn)，又分別交其準(zhǔn)圓于點(diǎn)，且垂直.

所以線段為準(zhǔn)圓的直徑，，

所以線段的長(zhǎng)為定值6.