Question

設(shè)點(diǎn)P（m，n）在圓x²+y²=2上，l是過點(diǎn)P的圓的切線，切線l與函數(shù)y=x²+x+k（k∈R）的圖象交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）當(dāng)k=-2，m=-1，n=-1時，判斷△OAB的形狀；
（2）△OAB是以AB為底的等腰三角形；
①試求出P點(diǎn)縱坐標(biāo)n滿足的等量關(guān)系；
②若將①中的等量關(guān)系右邊化為零，左邊關(guān)于n的代數(shù)式可表為（n+1）²（ax²+bx+c）的形式，且滿足條件的等腰三角形有3個，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)k=-2，m=-1，n=-1，以及切線l：-x-y=2，分別得到一個等式，通過兩個等式聯(lián)立解方程組求出兩組解，此時即可表示出兩個點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，然后分別根據(jù)垂直與腰相等兩個關(guān)系判斷出△OAB是等腰直角三角形
（2） ①寫出過P的切線，然后分別設(shè)出A，B兩個點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)是已知題意列出3個等式，然后解出結(jié)果..通過P點(diǎn)縱坐標(biāo)為n，代入P中求出n的等量關(guān)系．
    ②按照①的結(jié)果，通過把等量關(guān)系右邊化為零，左邊關(guān)于n的代數(shù)式表示為（n+1）²（ax²+bx+c）的形式，化簡．然后根據(jù)滿足條件的等腰三角形有3個，分別判斷△＞0是否成立．經(jīng)過計算分別求出K的取值范圍即可．
解答：解：①當(dāng)k=-2，m=-1，n=-1，
   時y=x²+x-2．
  切線l：-x-y=2，即x+y+2=0．
  由，
  得x²+2x=0，
∴x₁=0，x₂=-2．
  A（0，-2），B（-2，0）．
∵
∴△OAB是等腰直角三角形

②△OAB是以AB為底的等腰三角形?P是AB的中點(diǎn)．
過P點(diǎn)的切線：mx+ny=2．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則
（2）-（1）
y₂-y₁=（x₂+x₁）（x₂-x₁）+x₂-x₁
，

∵
4n⁴+4n³-6n²-8n-2=0
即2n⁴+2n³-3n²-4n-1=0．
由已知，2n⁴+2n³-3n²-4n-1
=（n+1）²（an²+bn+c）=（n²+2n+1）（an²+bn+c）
=an⁴+（b+2a）n³+（c+a+2b）n²+（2c+b）n+c
⇒，
即∴
由2n⁴+2n³-3n²-4n-1=（n+1）²（2n²-2n-1）=0
∴n+1=0或2n²-2n-1=0，

∴
由，
nx²+（m+n）x+nk-2=0
當(dāng)
△=4-4k-8＞0，k＜-1．
當(dāng)
由
當(dāng)時，，

，


等腰三角形恰有3個等價于以上三個解都滿足△＞0，
故
點(diǎn)評：本題考查直線與圓的關(guān)系的應(yīng)用，通過直線與圓相切，對關(guān)系式進(jìn)行分析．然后通過圓與曲線兩個交點(diǎn)再進(jìn)行分析．通過一系列的運(yùn)算最終求出結(jié)果．本題另外一個側(cè)重點(diǎn)就是對運(yùn)算的考查與一元二次方程判別式的考查．本題為難題．