Question

已知動點(diǎn)M到定直線l：x=-的距離比到定點(diǎn)（，0）的距離多1，
（I）求動點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（II）設(shè)A（a，0）（a∈R），求曲線C上點(diǎn)P到點(diǎn)A距離的最小值d（a）

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由動點(diǎn)M到定直線l：x=-的距離比到定點(diǎn)（，0）的距離多1，得到點(diǎn)M與定點(diǎn)（）的距離等于它到直線x=-的距離，然后直接由拋物線的定義得方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線上的點(diǎn)P（），由兩點(diǎn)間的距離公式寫出|PA|²，換元后利用二次函數(shù)對稱軸的位置討論得到曲線C上點(diǎn)P到點(diǎn)A距離的最小值d（a）．
解答：解：（1）設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），
由已知條件可知，點(diǎn)M與定點(diǎn)（）的距離等于它到直線x=-的距離．
根據(jù)拋物線的定義，點(diǎn)M的軌跡是以定點(diǎn)（）為焦點(diǎn)的拋物線．
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103173759637366480/SYS201311031737596373664019_DA/8.png">，所以p=1．即點(diǎn)M的軌跡方程為y²=2x；
（2）設(shè)拋物線上的點(diǎn)P（），y∈R．則
，整理得：
．
令y²=t≥0，有：，（t≥0）
關(guān)于t的二次函數(shù)的對稱軸為：t=2（a-1）．對對稱軸位置作分類討論如下：
①2（a-1）≤0時，a≤1，即t=1時，，d（a）=|a|；
②2（a-1）＞0時，a＞1，即t=2（a-1）時，，d（a）=．
所以d（a）=．
點(diǎn)評：本題考查了圓錐曲線的軌跡問題，考查了兩點(diǎn)間的距離公式，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用二次函數(shù)的對稱軸位置討論二次函數(shù)最值的求法，是有一定難度題目．