如圖①,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BA=BC=2,∠ABC=90°,異面直線A1B與AC成60°的角,點(diǎn)O、E分別是棱AC和BB1的中點(diǎn),點(diǎn)F是棱B1C1上的動(dòng)點(diǎn).
(Ⅰ)求異面直線A1E與OF所角的大;
(Ⅱ)求二面角B1-A1C-C1的大小;
(Ⅲ)設(shè)O1為A1C1的中點(diǎn),如圖②,將此直三棱柱ABC-A1B1C1繞直線O1O旋轉(zhuǎn)一周,線段BC1旋轉(zhuǎn)后所得圖形所得必定是________.(只需填上你認(rèn)為正確的選項(xiàng),不必證明)

D
分析:(I)以B為坐標(biāo)原點(diǎn),以BA,BC,BB1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,寫(xiě)出要用的點(diǎn)的坐標(biāo),設(shè)出棱錐的高,根據(jù)異面直線A1B與AC成60°的角,寫(xiě)出兩條異面直線的夾角,求出高,再求出異面直線所成的角.
(II)根據(jù)建立的坐標(biāo)系,看出平面的一個(gè)法向量,設(shè)出另一個(gè)平面的法向量,根據(jù)法向量與平面上的向量數(shù)量積等于0,求出一個(gè)法向量,根據(jù)兩個(gè)向量的夾角做出二面角的值.
(III)將此直三棱柱補(bǔ)形為正方體ABCD-A1B1C1D1,如圖2.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,線段BC1任意一點(diǎn)到軸OO1的距離保持不變,設(shè)BC1的中點(diǎn)為M,OO1的中點(diǎn)為O2,則O2M是異面直線OO1與BC1的公垂線段,建立空間直角坐標(biāo)系,不失一般性,設(shè)點(diǎn)N在線段MC1上,并設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,MN=t,PN=d.做出結(jié)果
解答:如圖1,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),以BA,BC,BB1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A(2,0,0),C(0,2,0),0(1,1,0)

(Ⅰ)設(shè)棱錐的高為h,則A1(2,0,h),C(0,2,0),
∴cos<
即cos60°=,解得h=2.
∴E(0,0,1),A1(202),
∵F為棱B1C1上的動(dòng)點(diǎn),故可設(shè)f(0,y,2).


,即異面直線A1E與OF成角為90°
(Ⅱ)易知平面A1CC1的一個(gè)法向量為=(1,1,0),設(shè)平面A1B1C的一個(gè)法向量為=(x,y,1),則=(x,y,1)•(-2,2,-2)=-2x+2y-2=0,…①=(x,y,1)•(-2,0,0)=-2x=0.…②
由①、②,得
∴cos<>=,
∴<>=60°.
即二面角B1-A1C-C1的大小為60°.
(Ⅲ)將此直三棱柱補(bǔ)形為正方體ABCD-A1B1C1D1,如圖2.在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,線段BC1任意一點(diǎn)到軸OO1的距離保持不變,
設(shè)BC1的中點(diǎn)為M,OO1的中點(diǎn)為O2,則O2M是異面直線OO1與BC1的公垂線段.
設(shè)N是線段BC1上任意一點(diǎn),N在軸OO1上的射影為P.
以正方體的中心O2,主點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,不失一般性,設(shè)點(diǎn)N在線段MC1上,并設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2,MN=t,PN=d.
∵<>=45°,
∴N
在Rt△OPN中,由O2P2+PN2=O2N2,得
d2+,∴
即d與t之間滿足雙曲線關(guān)系,故選D.
點(diǎn)評(píng):本題考查利用空間向量解決幾何體中的夾角和距離的問(wèn)題,本題解題的關(guān)鍵是建立合適的坐標(biāo)系,把邏輯性很強(qiáng)的理論推導(dǎo)轉(zhuǎn)化成數(shù)字的運(yùn)算,降低了題目的難度.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1,∠ACB=90°,E是棱CC1上動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)是AB中點(diǎn),AC=BC=2,AA1=4.
(1)求證:CF⊥平面ABB1;
(2)當(dāng)E是棱CC1中點(diǎn)時(shí),求證:CF∥平面AEB1;
(3)在棱CC1上是否存在點(diǎn)E,使得二面角A-EB1-B的大小是45°,若存在,求CE
的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•渭南二模)如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,E是棱CC1上的動(dòng)點(diǎn),F(xiàn)是AB的中點(diǎn),AC=BC=2,AA1=4.
(1)當(dāng)E是棱CC1的中點(diǎn)時(shí),求證:CF∥平面AEB1;
(2)在棱CC1上是否存在點(diǎn)E,使得二面角A-EB1-B的大小是45°?若存在,求出CE的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長(zhǎng)為2,底面△ABC是等腰直角三角形,且∠ACB=90°,AC=2,D是A A1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求異面直線AB和C1D所成的角(用反三角函數(shù)表示);
(Ⅱ)若E為AB上一點(diǎn),試確定點(diǎn)E在AB上的位置,使得A1E⊥C1D;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求點(diǎn)D到平面B1C1E的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,∠ABC=90°,D為棱AC的中點(diǎn),且AB=BC=BB1=a.

(1)求證:AB1∥平面BC1D;

(2)求異面直線AB1BC1所成的角;

(3)求點(diǎn)A到平面BC1D的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示在直三棱柱中ABC—A′B′C′中,AB=AC=AA′=1,∠BAC=90°,則A′C與BC′所成的角的大小為(    )

A.                 B.                C.                  D.

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