Question

已知集合，若集合，且對任意的，存在，使得（其中），則稱集合為集合的一個(gè)元基底.
（Ⅰ）分別判斷下列集合是否為集合的一個(gè)二元基底，并說明理由；
①，；
②，.
（Ⅱ）若集合是集合的一個(gè)元基底，證明：；
（Ⅲ）若集合為集合的一個(gè)元基底，求出的最小可能值，并寫出當(dāng)取最小值時(shí)的一個(gè)基底.

Answer 1

解：（Ⅰ）①不是的一個(gè)二元基底.
理由是 ；
②是的一個(gè)二元基底.
理由是 ，
.               3分
（Ⅱ）不妨設(shè)，則
形如的正整數(shù)共有個(gè)；
形如的正整數(shù)共有個(gè)；
形如的正整數(shù)至多有個(gè)；
形如的正整數(shù)至多有個(gè).
又集合含個(gè)不同的正整數(shù)，為集合的一個(gè)元基底.
故，即.               8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所以.
當(dāng)時(shí)，，即用基底中元素表示出的數(shù)最多重復(fù)一個(gè). *
假設(shè)為的一個(gè)4元基底，
不妨設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)或.
如果，則由，與結(jié)論*矛盾.
如果，則或.易知和都不是的4元基底，矛盾.
當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)，，易知不是的4元基底，矛盾.
當(dāng)時(shí)，有，這時(shí)，，易知不是的4元基底，矛盾.
當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
當(dāng)時(shí)，有，，，易知不是的4元基底，矛盾.
當(dāng)時(shí)，均不可能是的4元基底.
當(dāng)時(shí)，的一個(gè)基底；或{3,7,8,9,10}；或{4,7,8,9,10}等，只要寫出一個(gè)即可.
綜上，的最小可能值為5.                         14分

略