Question

某地政府為科技興市，欲在如圖所示的矩形ABCD的非農(nóng)業(yè)用地中規(guī)劃出一個(gè)高科技工業(yè)園區(qū)（如圖中陰影部分），形狀為直角梯形QPRE（線段EQ和RP為兩個(gè)底邊），已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中AF是以A為頂點(diǎn)、AD為對(duì)稱軸的拋物線段．試求該高科技工業(yè)園區(qū)的最大面積．

Answer 1

以A為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系如圖，
則A（0，0），F(xiàn)（2，4），
由題意可設(shè)拋物線段所在拋物線的方程為y=ax²（a＞0），
由4=a×2²得，a=1，
∴AF所在拋物線的方程為y=x²，
又E（0，4），C（2，6），
∴EC所在直線的方程為y=x+4，
設(shè)P（x，x²）（0＜x＜2），
則PQ=x，QE=4-x²，PR=4+x-x²，
∴工業(yè)園區(qū)的面積S=

1

2

(4-x2+4+x-x2)•x=-x3+

1

2

x2+4x（0＜x＜2），
∴S'=-3x²+x+4，令S'=0得x=

4

3

或x=-1（舍去負(fù)值），
當(dāng)x變化時(shí)，S'和S的變化情況如下表：



由表格可知，當(dāng)x=

4

3

時(shí)，S取得最大值

104

27

．
答：該高科技工業(yè)園區(qū)的最大面積

104

27

．