Question

三次函數(shù)f（x）=x³-3bx+3b在[1，2]內恒為正值，則b的取值范圍是______．

Answer 1

方法1：可以看作y₁=x₃，y₂=3b（x-1），且y₂＜y₁
x₃的圖象和x₂類似，只是在一，三象限，
由于[1，2]，討論第一象限即可
直線y₂過（1，0）點，斜率為3b．
觀察可知在[1，2]范圍內，直線y₂與y₁=x₃相切的斜率是3b的最大值．
對y₁求導得相切的斜率3（x2），相切的話3b=3（x₂），b的最大值為x₂．
相切即是有交點，y₁=y₂ 3x₂（x-1）=x₃ x=1.5
則b的最大值為x₂=9/4，
那么b＜9/4．
方法2：f（x）=x^3-3bx+3b
f'（x）=3x^-3b b≤0時，
f（x）在R上單調增，只需f（1）=1＞0，顯然成立；
b＞0時，令f'（x）=0    x=±√b---＞f（x）在[√b，+∞）上單調增，在[-√b，√b]上單調減；
如果√b≤1即b≤1，只需f（1）=1＞0，顯然成立；
如果√b≥2即b≥4，只需f（2）=8-3b＞0---＞b＜8/3，矛盾舍去；
如果1＜√b＜2即1＜b＜4，必須f（√b）=b√b-3b√b+3b＞0
-b（2√b-3）＞0
√b＜3/2
b＜9/4，
即：1＜b＜9/4
綜上：b＜9/4