Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

ax2-(a+1)x+lnx．
（I）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處切線的斜率；
（II）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f(x)=

1

2

ax2-(a+1)x+lnx，根據(jù)m=1，我們易求出f（1）及f′（1）的值，代入點(diǎn)斜式方程即可得到答案．
（2）由已知我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)值為0，我們則求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)m＞0，我們可將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，分別在每個(gè)區(qū)間上討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=

1

2

ax2-(a+1)x+lnx，
f′（x）=2x²-3+

1

x

，故f′（2）=

3

2

．
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的斜率為

3

2

．
（2）f′（x）=ax²-（a+1）+

1

x

．
令f′（x）=0，解得x=1，或x=

1

a

．
因?yàn)閍＞0，x＞0．
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，
若x∈（0，1）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
若x∈（1，

1

a

）時(shí)，f′（x）0，＜函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
若x∈（

1

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
②當(dāng)a=1時(shí)，
若x∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
③當(dāng)a＞1時(shí)，
若x∈（0，

1

a

）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
若x∈（

1

a

，1）時(shí)，f′（x）0，＜函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
若x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，其中根據(jù)已知函數(shù)的解析式求出導(dǎo)函數(shù)的解析式是解答本題的關(guān)鍵．