(14分)如圖,正三棱柱ABC—A1B1C1中,D是BC的中點(diǎn),AB=a

 
   (Ⅰ)求證:直線A1D⊥B1C1;

   (Ⅱ)求點(diǎn)D到平面ACC1的距離;

   (Ⅲ)判斷A1B與平面ADC的位置關(guān)系,

 并證明你的結(jié)論.

(Ⅰ)證法一:∵點(diǎn)D是正△ABC中BC邊的中點(diǎn),∴AD⊥BC,

又A1A⊥底面ABC,∴A1D⊥BC ,∵BC∥B1C1,∴A1D⊥B1C1

 證法二:連結(jié)A1C1,則A1C=A1B.  ∵點(diǎn)D是正△A1CB的底邊中BC的中點(diǎn),

        ∴A1D⊥BC ,∵BC∥B1C1,∴A1D⊥B1C1.(4分)

(Ⅱ)解法一:作DE⊥AC于E, ∵平面ACC1⊥平面ABC,

∴DE⊥平面ACC1于E,即DE的長(zhǎng)為點(diǎn)D到平面ACC1的 距離.  在Rt△ADC中,

AC=2CD=

∴所求的距離(9分)

解法二:設(shè)點(diǎn)D到平面ACC1的距離為,

∵體積 

即點(diǎn)D到平面ACC1的距離為.(9分)

   (Ⅲ)答:直線A1B//平面ADC1,證明如下:

證法一:如圖1,連結(jié)A1C交AC1于F,則F為A1C的中點(diǎn),∵D是BC的中點(diǎn),∴DF∥A1B,

      又DF 平面ADC1,A1B平面ADC1,∴A1B∥平面ADC1. (14分)

證法二:如圖2,取C1B1的中點(diǎn)D1,則AD∥A1D1,C1D∥D1B,

∴AD∥平面A1D1B,且C1D∥平面A1D1B,

∴平面ADC1∥平面A1D1B,∵A1B平面A1D1B,∴A1B∥平面ADC1. (14分)

練習(xí)冊(cè)系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1各棱長(zhǎng)都等于a,E是BB1的中點(diǎn).
(1)求直線C1B與平面A1ABB1所成角的正弦值;
(2)求證:平面AEC1⊥平面ACC1A1;
(3)求點(diǎn)C1到平面AEC的距離.

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精英家教網(wǎng)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都2,E,F(xiàn)分別是AB,A1C1的中點(diǎn),則EF的長(zhǎng)是(  )
A、2
B、
3
C、
5
D、
7

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如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AB1⊥平面A1BD;
(Ⅱ)求二面角A-A1D-B的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•鄭州二模)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2,D為CC1中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AB1⊥面A1BD;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)O為AB1上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)OD∥平面ABC時(shí),求
AOOB1
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中(注:底面為正三角形且側(cè)棱與底面垂直),BC=CC1=2,P,Q分別為BB1,CC1的中點(diǎn).
(Ⅰ)求多面體ABC-A1PC1的體積;
(Ⅱ)求A1Q與BC1所成角的大�。�

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