Question

（2012•馬鞍山二模）已知橢圓

x2

4

+

y2

4

=1（0＜b＜2）的左焦點為F，左、右頂點分別為A、C，上頂點為B，過F、B、C作圓P．
（I）當(dāng)b=

3

時，求圓P的方程；
（II）直線AB與圓P能否相切？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出FC、BC的中垂線方程，聯(lián)立兩方程，解得P的坐標(biāo)，根據(jù)b=

3

，確定圓心坐標(biāo)與半徑，即可得到圓P方程；（Ⅱ）直線AB與圓P不能相切，用反證法，如果直線AB與圓P相切，求得c=0或4，與c∈（0，2）矛盾，故可得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)F、B、C的坐標(biāo)分別為（-c，0），（0，b），（2，0），則FC、BC的中垂線分別為x=

2-c

2

，y-

b

2

=

2

b

(x-1)，
聯(lián)立兩方程，解得x=

2-c

2

，y=

b2-2c

2b

，即P（

2-c

2

，

b2-2c

2b

）
∴b=

3

時，圓心坐標(biāo)為（

1

2

，

3

6

），半徑PC=

21

3

∴圓P方程為（x-

1

2

）²+（y-

3

6

）²=

7

3

…（6分）
（Ⅱ）直線AB與圓P不能相切．…（7分）
理由如下：因為kAB=

b

2

，k_PB=

b2+2c

b(c-2)

如果直線AB與圓P相切，則

b2+2c

b(c-2)

×

b

2

=-1…（10分）
解得c=0或4，
又c²=4-b²∈（0，4），∴c∈（0，2），
而0，4∉（0，2），所以直線AB與圓P不能相切．…（13分）

點評：本題考查解析幾何綜合題，能夠強化學(xué)生對圓、橢圓有關(guān)知識的理解，考查計算能力，訓(xùn)練學(xué)生對平面解析幾何相關(guān)知識的認(rèn)識．中等題．