Question

在△ABC中，內角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c，已知，．
（1）求cosC的值；
（2）若BC=10，D為AB的中點，求CD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）由cosB及B為三角形的內角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinB的值，再由A的度數，根據三角形得到內角和定理得到C=-B，利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡cos（-B），將sinB和cosB的值代入求出cos（-B）的值，即為cosC的值；
（2）由第一問求出的cosC的值，及C為三角形的內角，利用同角三角函數間的基本關系求出sinC的值，由BC，sinA和sinC的值，利用正弦定理求出AB的長，在三角形BCD中，由D為AB的中點，求出BD的長，再由BC的長，以及cosB的值，利用余弦定理即可求出CD的長．
解答：解：（1）∵，且B∈（0，π），
∴，
∴
==；

（2）由（1）可得，
由正弦定理得，又BC=10，sinA=，sinC=，
∴，
解得：AB=14，
在△BCD中，BD=AB=7，BC=10，cosB=，
由余弦定理得：，
∴．
點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：正弦、余弦定理，誘導公式，兩角和與差的余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．