Question

已知函數(shù)f(x)=lnx+

m

x

(x＞0)在（1，+∞）上為增函數(shù)，函數(shù)g（x）=lnx-mx（x＞0）在（1，+∞）上為減函數(shù)．
（1）分別求出函數(shù)f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)；
（2）求實(shí)數(shù)m的值；
（3）求證：當(dāng)x＞0時(shí)，xln(1+

1

x

)＜1＜(x+1)ln(1+

1

x

)．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則及基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式求出f（x），g（x）的導(dǎo)函數(shù)；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，令f'（x）=

1

x

-

m

x2

=

x-m

x2

≥0恒成立及g'（x）=

1

x

-m=

1-mx

x

≤0恒成立，求出m的值．
（3）因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，1+

1

x

＞1，利用（1）中f（x），g（x）的單調(diào)性得到當(dāng)x＞0時(shí)，xln（1+

1

x

）＜1＜（x+1）ln（1+

1

x

）

解答：解：（1）f'（x）=

1

x

-

m

x2

…（2分）
g'（x）=

1

x

-m=

1-mx

x

…（4分）
（2）因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=lnx+

m

x

(x＞0)在（1，+∞）上為增函數(shù)，
所以當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）=

1

x

-

m

x2

=

x-m

x2

≥0恒成立，得m≤1．
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=lnx-mx（x＞0）在（1，+∞）上為減函數(shù)．
所以當(dāng)x＞1時(shí)，g'（x）=

1

x

-m=

1-mx

x

≤0恒成立，得m≥1．
從而m=1．…（6分）
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，1+

1

x

＞1，
所以由（1）知：f（1+

1

x

）＞f（1），即：ln（1+

1

x

）+

x

x+1

＞1，
化簡(jiǎn)得：（1+x）ln（1+

1

x

）＞1
g（1+

1

x

）＜g（1），即：ln（1+

1

x

）-（1+

1

x

）＜-1，
化簡(jiǎn)得：xln（1+

1

x

）＜1．
所以當(dāng)x＞0時(shí)，xln（1+

1

x

）＜1＜（x+1）ln（1+

1

x

）．…（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，當(dāng)已知函數(shù)遞增時(shí)，令導(dǎo)函數(shù)大于等于0；當(dāng)函數(shù)遞減時(shí)，令導(dǎo)函數(shù)小于等于0，求出參數(shù)的范圍．