Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知圓，圓．
（1）若過點C₁（-1，0）的直線l被圓C₂截得的弦長為，求直線l的方程；
（2）設動圓C同時平分圓C₁的周長、圓C₂的周長．
①證明：動圓圓心C在一條定直線上運動；
②動圓C是否經過定點？若經過，求出定點的坐標；若不經過，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設過直線l方程：y=k（x+1），根據(jù)垂直于弦的直徑的性質，結合點到直線的距離公式列式，可解出k的值，從而得到直線l的方程；
（2）①由題意，圓心C到C₁、C₂兩點的距離相等，由此結合兩點間的距離公式建立關系式，化簡整理得x+y-3=0，即為所求定直線方程；
②根據(jù)題意設C（m，3-m），得到圓C方程關于參數(shù)m的一般方程形式，由此可得動圓C經過圓x²+y²-6y-2=0與直線x-y+1=0的交點，最后聯(lián)解方程組，即可得到動圓C經過的定點坐標．
解答：解：（1）設過點C₁（-1，0）的直線l方程：y=k（x+1），化成一般式kx-y+k=0
∵直線l被圓C₂截得的弦長為，
∴點C₂（3，4）到直線l的距離為d==，
解之得k=或
由此可得直線l的方程為：4x-3y+4=0或3x-4y+3=0．
（2）①設圓心C（x，y），由題意，得CC₁=CC₂，
即=，
化簡整理，得x+y-3=0，
即動圓圓心C在定直線x+y-3=0上運動．
②設圓C過定點，設C（m，3-m），
則動圓C的半徑為=，
于是動圓C的方程為（x-m）²+（y-3+m）²=1+（m+1）²+（3-m）²，
整理，得x²+y²-6y-2-2m（x-y+1）=0，
由得或
所以動圓C經過定點，其坐標為，．
點評：本題求被定圓截得定長的弦所在直線方程，并探索動圓圓心在定直線上的問題．考查了直線與圓的方程、直線與圓和圓與圓的位置關系，考查學生運算能力．