Question

已知函數(shù)f（x）=（x-1）²+alnx有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂且x₁＜x₂
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）證明：f（x₂）＞

1-2ln2

4

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求f′（x），根據(jù)已知條件知方程f′（x）=0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，這樣即可求得a的范圍，實(shí)根x₁，x₂將區(qū)間（0，+∞）分成幾個(gè)區(qū)間，判斷f′（x）在各自區(qū)間上的符號(hào)，即可判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）求f（x₂），確定x₂的范圍(

1

2

，1)，f（x₂）便表示關(guān)于x₂的函數(shù)，求f′（x₂），判斷函數(shù)f（x₂）在(

1

2

，1)上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求f（x₂）的范圍，即可證明本問．

解答： 解：（Ⅰ）由題設(shè)知，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′(x)=

2x2-2x+a

x

；
∵f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x₁，x₂且x₁＜x₂；
∴f′（x）=0有兩個(gè)不同的根x₁，x₂；
∴2x²-2x+a=0的判別式△=4-8a＞0，即a＜

1

2

，且x1=

1- 1-2a

2

，x2=

1+ 1-2a

2

又x₁＞0，∴a＞0；
∴a的取值范圍是(0，

1

2

)；
當(dāng)0＜x＜x₁或x＞x₂時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，x₁），（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減；
（Ⅱ）由（Ⅰ）Ⅰx1+x2=1，x1x2=

a

2

，∴a=2x₁x₂=2x₂（1-x₂）；
∴f（x₂）=(x2-1)2+alnx2=(x2-1)2+2x2(1-x2)lnx₂(

1

2

＜x2＜1)；
∴f′（x₂）=2（x₂-1）+2[（1-2x₂）lnx₂+x2(1-x2)

1

x2

]=2（1-2x₂）lnx₂＞0；
∴函數(shù)f（x₂）在(

1

2

，1)單調(diào)遞增，∴f(x2)＞f(

1

2

)=

1-2ln2

4

．

點(diǎn)評(píng)：考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程f′（x）=0實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)與極值點(diǎn)個(gè)數(shù)的關(guān)系，一元二次不等式的解，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)值的范圍的方法．