Question

17．橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的點P到直線x-2y+7=0的距離最大時，點P的坐標(biāo)是（　�。�

• A． （-$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
• B． （$\sqrt{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）
• C． （-1，$\frac{3}{2}$）
• D． （1，-$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 利用橢圓的參數(shù)方程可以設(shè)P（2cosθ，$\sqrt{3}$sinθ），（0≤θ＜2π），利用三角函數(shù)的輔助角公式，結(jié)合余弦函數(shù)的值域，即可得到最大值及對應(yīng)的P的坐標(biāo)．

解答 解：由橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
設(shè)m=2cosθ，n=$\sqrt{3}$sinθ，（0≤θ＜2π），
則點p（m，n）到直線l：x-2y+7=0的距離
d=$\frac{|2cosθ-2\sqrt{3}sinθ+7|}{\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}}$=$\frac{|4cos（θ+\frac{π}{3}）+7|}{\sqrt{5}}$，
∴當(dāng)cos（θ+$\frac{π}{3}$）=1時，d有最大值為$\frac{11\sqrt{5}}{5}$，
此時由θ+$\frac{π}{3}$=2kπ，k∈Z，可得θ=2kπ-$\frac{π}{3}$，
可得2cosθ=1，$\sqrt{3}$sinθ=-$\frac{3}{2}$，
即為P（1，-$\frac{3}{2}$）．
故選：D．

點評 本題主要考查橢圓的參數(shù)方程及距離公式，考查三角函數(shù)的變換求最值的方法，屬于中檔題．