Question

設(shè){a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=S_n+n，n∈N^*，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的概念及簡(jiǎn)單表示法

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由a_n+1=S_n+n，n∈N^*可推出a_n+1+1=2（a_n+1），從而可得{a_n+1}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而解出a_n=3•2^n-1-1．

解答： 解：∵a_n+1=S_n+n，
∴a_n=S_n-1+n-1，
兩式作差的，a_n+1-a_n=S_n-S_n-1+1，
即a_n+1=2a_n+1，
a_n+1+1=2（a_n+1），
則{a_n+1}是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
則a_n+1=3•2^n-1，
則a_n=3•2^n-1-1．
經(jīng)驗(yàn)證a₁=2也滿足a_n=3•2^n-1-1．
故答案為：a_n=3•2^n-1-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)，屬于基礎(chǔ)題．