Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（Ⅲ）證明對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式都成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）需要分類(lèi)討論，由（Ⅰ）可知分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)為b≥，0＜b＜，b≤0或f'（x）＜0．參數(shù)取某些特定值時(shí)，可只管作出判斷，單列為一類(lèi)；不能作出直觀(guān)判斷的，再分為一類(lèi)，用通法解決，另外要注意由f'（x）=0求得的根不一定就是極值點(diǎn)，需要判斷在該點(diǎn)兩側(cè)的異號(hào)性后才能稱(chēng)為“極值點(diǎn)”．
（Ⅲ）先構(gòu)造函數(shù)h（x）=x³-x²+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，求出函數(shù)h（x）的最小值，從而得到ln（x+1）＞x²-x³，最后令，即可證得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）的定義域在（-1，+∞）

令g（x）=2x²+2x+b，則g（x）在上遞增，在上遞減，
g（x）=2x²+2x+b＞0在（-1，+∞）上恒成立，
所以f'（x）＞0即當(dāng)，函數(shù)f（x）在定義域（-1，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知當(dāng)時(shí)函數(shù)f（x）無(wú)極值點(diǎn)
（2）當(dāng)時(shí)，，
∴，
∴時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無(wú)極值點(diǎn)
（3）當(dāng)時(shí)，解f'（x）=0得兩個(gè)不同解
當(dāng)b＜0時(shí)，，
∴x₁∈（-∞，-1），x₂∈（-1，+∞），此時(shí)f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點(diǎn)
當(dāng)時(shí)，x₁，x₂∈（-1，+∞）f'（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）都大于0，
f'（x）在（x₁，x₂）上小于0，此時(shí)f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)
綜上可知，b＜0，時(shí)，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點(diǎn)
時(shí)，f（x）有一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)
時(shí)，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無(wú)極值點(diǎn)．
（Ⅲ）當(dāng)b=-1時(shí)，f（x）=x²-ln（x+1）．令上恒正
∴h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有h（x）＞h（0）=0
即當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，有x³-x²+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x²-x³，對(duì)任意正整數(shù)n，取
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式的證明方法，屬于中檔題．