Question

8．化簡(jiǎn)與求值：
（1）（lg$\sqrt{2}$）²+$\frac{1}{2}$lg2•lg5+$\sqrt{（lg\sqrt{2}）^{2}-lg2+1}$；
（2）log₂（$\sqrt{4+\sqrt{7}}$+$\sqrt{4-\sqrt{7}}$）．

Answer 1

分析 （1）由lg5=1-lg2，$\sqrt{（lg\sqrt{2}）^{2}-lg2+1}$=$\sqrt{（lg\sqrt{2}-1）^{2}}$=1-lg$\sqrt{2}$=1-$\frac{1}{2}$lg2，進(jìn)而利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求出．
（2）由于（$\sqrt{4+\sqrt{7}}$+$\sqrt{4-\sqrt{7}}$）²=2，即可得出$\sqrt{4+\sqrt{7}}$+$\sqrt{4-\sqrt{7}}$=$\sqrt{2}$．進(jìn)而利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求出．

解答 解：（1）（lg$\sqrt{2}$）²+$\frac{1}{2}$lg2•lg5+$\sqrt{（lg\sqrt{2}）^{2}-lg2+1}$；
=$\frac{1}{4}$（lg2）²+$\frac{1}{2}$lg2（1-lg2）+（1-$\frac{1}{2}$lg2）
=$\frac{1}{4}$（lg2）²+$\frac{1}{2}$lg2-$\frac{1}{2}$（lg2）²+1-$\frac{1}{2}$lg2
=-$\frac{1}{4}$（lg2）²．
（2）∵（$\sqrt{4+\sqrt{7}}$+$\sqrt{4-\sqrt{7}}$）²=2，$\sqrt{4+\sqrt{7}}$+$\sqrt{4-\sqrt{7}}$＞0，
∴$\sqrt{4+\sqrt{7}}$+$\sqrt{4-\sqrt{7}}$=$\sqrt{2}$．
log₂（$\sqrt{4+\sqrt{7}}$+$\sqrt{4-\sqrt{7}}$）．
=log₂$\sqrt{2}$
=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根式的運(yùn)算和對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題．