(本小題滿分12分)
如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD是等腰梯形,AD//CD, ,F(xiàn)C 平面ABCD, AE BD,CB =CD=-CF.
(Ⅰ)求證:平面ABCD 平面AED;
(Ⅱ)直線AF與面BDF所成角的余弦值
(Ⅰ)見解析 (Ⅱ)
解析試題分析:(Ⅰ)通過計算可證得AD⊥BD,又因為AE⊥BD,由線面垂直的判定定理得,BD⊥面ADE,由面面垂直的判定定理得,面ADE⊥面ABCD; (Ⅱ)由(Ⅰ)知AD⊥BD,同理可證AC⊥BC,因為CF⊥面ABCD,所以以CA,CB,CF分別為建立空間直角坐標系,設BC=1,求出A、B、D,F(xiàn)點的坐標,求出的坐標和平面BDF法向量的坐標,利用空間向量夾角公式計算出這兩個向量夾角的余弦值,利用同腳三角函數(shù)基本關(guān)系求出向量夾角的正弦值即為線面夾角的余弦值.
試題解析:(Ⅰ)∵四邊形ABCD是等腰梯形,AB∥CD,∠DAB=60°,
∴∠ADC=∠BCD=120°,
又CB=CD,∴∠CDB=30°,∴∠ADB=90°,AD⊥BD,
又AE⊥BD,且AE∩AD=A,AE,AD?平面AED,
∴BD⊥平面AED,∴平面ABCD⊥平面AED.
(Ⅱ)連結(jié)AC,由(Ⅰ)知AD⊥BD,∴AC⊥BC,
又FC⊥平面ABCD,∴CA,CB,CF兩兩垂直,
以C為坐標原點,建立空間直角坐標系,設CB=1,
則A(,0,0),B(0,1,0),D(,,0),F(xiàn)(0,0,1),
∴=(,,0),==(0,?1,1),=(-,0,1),
設平面BDF的一個法向量為=(x,y,z),則,取z=1,則=(,1,1),
所以=,∴直線AF與面BDF所成角的余弦值為. (12分)
考點:空間線面垂直的判定,空間面面垂直的判定,線面角的計算,推理論證能力,運算求解能力
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
下列各命題:
①若直線,則不可能與內(nèi)無數(shù)條直線相交。
②若平面內(nèi)有一條直線和直線不共面,則。
③若一個平面內(nèi)有不共線的三點到另一平面的距離相等,則兩平面平行。
④如果兩個平面垂直,則一個平面內(nèi)任意直線都和另一個平面垂直。
其中錯誤命題的序號是____________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,點為斜三棱柱的側(cè)棱上一點,交于點,交于點.
(1) 求證:;
(2) 在任意中有余弦定理:.
拓展到空間,類比三角形的余弦定理,寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式,并予以證明
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在直三棱柱中-A BC中,AB AC, AB=AC=2,=4,點D是BC的中點.
(1)求異面直線與所成角的余弦值;
(2)求平面與所成二面角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,側(cè)面對角線AB1,BC1上分別有兩點E,F(xiàn),且B1E=C1F.求證:EF∥平面ABCD.
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