Question

（2012•藍(lán)山縣模擬）在高三年級(jí)某班組織的歡慶元旦活動(dòng)中，有一項(xiàng)游戲規(guī)則如下：參與者最多有5次抽題并答題的機(jī)會(huì)．如果累計(jì)答對(duì)2道題，立即結(jié)束游戲，并獲得紀(jì)念品；如果5次機(jī)會(huì)用完仍未累計(jì)答對(duì)2道題，也結(jié)束游戲，并不能獲得紀(jì)念品．已知某參與者答對(duì)每道題答對(duì)的概率都是

2

3

，且每道題答對(duì)與否互不影響．
（1）求該參與者獲得紀(jì)念品的概率；
（2）記該參與者游戲時(shí)答題的個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

分析：（1）設(shè)“參與者獲得紀(jì)念品”為事件A，求出其對(duì)立事件的概率，即可得到結(jié)論；
（2）ξ的可能取值為2，3，4，5，求出相應(yīng)的概率，即可得到ξ的分布列及期望．

解答：解：（1）設(shè)“參與者獲得紀(jì)念品”為事件A，則
P（A）=1-P

(A)

=1-[（

1

3

）⁵+

C

1 5

（

1

3

）⁴（

2

3

）]=

232

243

．（4分）
故該參與者獲得紀(jì)念品的概率為

232

243

．（5分）
（2）ξ的可能取值為2，3，4，5，
P（ξ=2）=（

2

3

）²=

4

9

；P（ξ=3）=

C

1 2

2

3

•

1

3

•

2

3

=

8

27

；
P（ξ=4）=

C

1 3

2

3

（

1

3

）²

2

3

=

4

27

；P（ξ=5）=

C

1 4

（

2

3

）（

1

3

）³+

C

0 4

（

1

3

）⁴=

1

9

．（8分）
故ξ的分布列為

ξ	2	3	4	5
P	4 9	8 27	4 27	1 9

Eξ=2×

4

9

+3×

8

27

+4×

4

27

+5×

1

9

=

79

27

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，理解變量的取值及含義是關(guān)鍵．