Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），a＞0且a≠1
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，求使f（x）＜0成立的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由函數(shù)解析式可得可得

x+1＞0 1-x＞0

，由此求得函數(shù)的定義域．
（2）由f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，f（-x）=-f（x），可得函數(shù)為偶函數(shù)．
（3）由題意可得 0＜

1+x

1-x

＜1，即

x+1 x-1 ＜0 2x x-1 ＞0

，由此解得x的范圍．

解答： 解：（1）由函數(shù)f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），a＞0且a≠1，
可得

x+1＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）．
（2）由f（x）=log_a

1+x

1-x

，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
f（-x）=log_a

1-x

1+x

=-log_a

1+x

1-x

=-f（x），故函數(shù)為奇函數(shù)．
（3）當(dāng)a＞1時(shí)，由f（x）＜0可得 0＜

1+x

1-x

＜1，即

x+1 x-1 ＜0 2x x-1 ＞0

，
即

(x+1)(x-1)＜0 2x(x-1)＞0

，解得-1＜x＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)綜合應(yīng)用，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．