Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

a

x+1

（a∈R）．
（1）當(dāng)a=

9

2

時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的無(wú)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），當(dāng)a=

9

2

時(shí)，f′(x)=

x2- 5 2 x+1

x(x+1)2

=

(x- 1 2 )(x-2)

x(x+1)2

．令f'（x）=0，則x=

1

2

或x=2．列出表格即可得出單調(diào)性．
（2）令g（x）=x²+（2-a）x+1，分類討論：①當(dāng)△=（2-a）²-4=a²-4a≤0，f'（x）≥0恒成立，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)極值點(diǎn)；
②當(dāng)

△＞0 a-2＜0

，方程g（x）=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)極值點(diǎn)．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′(x)=

1

x

-

a

(x+1)2

=

x2+(2-a)x+1

x(x+1)2

，
當(dāng)a=

9

2

時(shí)，f′(x)=

x2- 5 2 x+1

x(x+1)2

=

(x- 1 2 )(x-2)

x(x+1)2

．
令f'（x）=0，則x=

1

2

或x=2．
于是得下表：

x	(0， 1 2 )	( 1 2 ，2)	（2，+∞）
f'（x）	+	-	+
f（x）	單調(diào)遞增	單調(diào)遞減	單調(diào)遞增

當(dāng)a=

9

2

時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

1

2

)，（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為(

1

2

，2)．
（2）令g（x）=x²+（2-a）x+1，
①當(dāng)△=（2-a）²-4=a²-4a≤0，即0≤a≤4時(shí)，f'（x）≥0恒成立，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)極值點(diǎn)；
②當(dāng)

△＞0 a-2＜0

即a＜0時(shí)，方程x²+（2-a）x+1=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)極值點(diǎn)．
綜上可得：實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程實(shí)數(shù)解與判別式的關(guān)系，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．