Question

定義在R上的函數f(x)滿足f(x+

5

2

)+f(x)=0，且函數f(x+

5

4

)為奇函數．給出下列結論：①函數f（x）的最小正周期是

5

2

；②函數f（x）的圖象關于點（

5

4

，0）對稱；③函數f（x）的圖象關于直線x=

5

2

對稱；④函數f（x）的最大值為f(

5

2

)．其中所有正確結論的序號是

②③

．

Answer 1

分析：①：由題意可得f（x+5）=-f（x+

5

2

）=f（x）則函數f（x）是周期函數且其周期為5；②：由y=f（x+

5

4

）是奇函數可得其圖象關于原點（0，0）對稱，由y=f（x+

5

4

）向右平移

5

4

個單位長度可得y=f（x）的圖象，則函數f（x）的圖象關于點（

5

4

，0）對稱；③：f（x+

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2

）+f（x）=0，f（-x+

5

2

）+f（-x）=0，則f（-x+

5

2

）=f（x+

5

2

），函數f（x）的圖象關于直線x=

5

2

對稱；④：函數f（x）的最大值不為f(

5

2

)．

解答：解：①：由題意可得f（x+5）=-f（x+

5

2

）=f（x）則函數f（x）是周期函數且其周期為5，故①錯誤；
②：由y=f（x+

5

4

）是奇函數可得其圖象關于原點（0，0）對稱，由y=f（x+

5

4

）向右平移

5

4

個單位長度可得y=f（x）的圖象，則函數f（x）的圖象關于點（

5

4

，0）對稱，故②正確；
③：f（x+

5

2

）+f（x）=0
f（-x+

5

2

）+f（-x）=0
則f（-x+

5

2

）=f（x+

5

2

）
函數f（x）的圖象關于直線x=

5

2

對稱，故③正確；
④：函數f（x）的最大值不為f(

5

2

)，故④不正確．
故答案為：②③．

點評：本題考查函數的周期性，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意函數性質的靈活運用．