Question

從直線(xiàn)x-y+3=0上的點(diǎn)向圓x²+y²-4x-4y+7=0引切線(xiàn)，則切線(xiàn)長(zhǎng)的最小值為

14

2

．

Answer 1

分析：把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，要使切線(xiàn)長(zhǎng)的最小，則必須點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離最�。�根據(jù)圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的直徑可得三角形ABC為直角三角形，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出圓心到直線(xiàn)y=x的距離即為|AC|的長(zhǎng)，然后根據(jù)半徑和|AC|的長(zhǎng)，利用勾股定理即可求出此時(shí)的切線(xiàn)長(zhǎng)．

解答：解：圓x²+y²-4x-4y+7=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得（x-2）²+（y-2）²=1，
所以圓心A（2，2），半徑為1，
要使切線(xiàn)長(zhǎng)的最小，則必須點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離最�。�
過(guò)圓心A作AC垂直直線(xiàn)x-y+3=0，垂足為C，
過(guò)C作圓A的切線(xiàn)，切點(diǎn)為B，連接AB，
所以AB⊥BC，此時(shí)的切線(xiàn)長(zhǎng)CB最短．
∵圓心A到直線(xiàn)x-y+3=0的距離|AC|=

|2-2+3|

2

=

3 2

2

，
根據(jù)勾股定理得|CB|=

( 3 3 2 )2-12

=

14

2

故答案為：

14

2

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是找出切線(xiàn)長(zhǎng)最短時(shí)的條件，根據(jù)題意畫(huà)出相應(yīng)的圖形．