Question

【題目】已知定點F（1，0），動點P（異于原點）在y軸上運動，連接FP，過點P作PM交x軸于點M，并延長MP到點N，且 ， ．
（1）求動點N的軌跡C的方程；
（2）若直線l與動點N的軌跡交于A、B兩點，若 且 ，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)動點N（x，y），則M（﹣x，0），P（0， ）（x＞0），

∵PM⊥PF，∴kPMkPF=﹣1，即 ，

∴y2=4x（x＞0）即為所求

（2）解：設(shè)直線l方程為y=kx+b，l與拋物線交于點A（x1，y1）、B（x2，y2），

則由 ，得x1x2+y1y2=﹣4，即 +y1y2=﹣4，∴y1y2=﹣8，

由 可得 ky2﹣4y+4b=0（其中k≠0），∴y1y2= =﹣8，b=﹣2k，

當△=16﹣16kb=16（1+2k2）＞0時，

|AB|2=（1+ ） = [ ﹣4y1y2]= （ +32）．

由題意， ，

可得16×6≤ （ +32）≤16×30，即4≤ ≤28，

即 ，解得 ≤k2≤1，

∴ ≤k≤1，或﹣1≤k≤﹣ ．

即所求k的取值范圍是[﹣1，﹣ ]∪[ 1]．

【解析】（1）設(shè)出動點N，則M，P的坐標可表示出，利用PM⊥PF，kPMspan>kPF=﹣1，求得x和y的關(guān)系式，即N的軌跡方程．（2）設(shè)出直線l的方程，A，B的坐標，根據(jù) ，推斷出x1x2+y1y2=﹣4進而求得y1y2的值，把直線與拋物線方程聯(lián)立消去x求得y1y2的表達式，進而氣的b和k的關(guān)系式，利用弦長公式表示出|AB|2 ， 根據(jù)|AB|的范圍，求得k的范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解直線的斜率(一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα)．