已知函數(shù)f(x)＝x＋x3，x∈R.

(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

(2)若a，b∈R，且a＋b>0，試比較f(a)＋f(b)與0的大�。�


[解析]　(1)函數(shù)f(x)＝x＋x3，x∈R是增函數(shù)，

證明如下：

任取x1，x2∈R，且x1<x2，則

f(x1)－f(x2)＝(x1＋x)－(x2＋x)＝(x1－x2)＋(x－x)＝(x1－x2)(x＋x1x2＋x＋1)

＝(x1－x2)[(x1＋x2)2＋x＋1]．

因為x1<x2，所以x1－x2<0，(x1＋x2)2＋x＋1>0.

所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，

所以函數(shù)f(x)＝x＋x3，x∈R是增函數(shù)．

(2)由a＋b>0，得a>－b，由(1)知f(a)>f(－b)，

因為f(x)的定義域為R，定義域關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，

又f(－x)＝(－x)＋(－x)3＝－x－x3

＝－(x＋x3)＝－f(x)，

所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．

于是有f(－b)＝－f(b)，所以f(a)>－f(b)，從而f(a)＋f(b)>0.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


擲三枚骰子，利用Excel軟件進行隨機模擬，試驗20次，計算出現(xiàn)點數(shù)之和是9的概率．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


如圖，矩形ABCD的三個頂點A，B，C分別在函數(shù)y＝logx，y＝x，y＝()x的圖象上，且矩形的邊分別平行于兩坐標(biāo)軸．若點A的縱坐標(biāo)為2，則點D的坐標(biāo)為________．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


若函數(shù)y＝的定義域為R，則實數(shù)k的取值范圍為(　　)

A．(0，)                             B．(，＋∞)

C．(－∞，0)                           D．[0，)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，已知x≥0時，f(x)＝x2－2x.

(1)畫出偶函數(shù)f(x)的圖像；

(2)根據(jù)圖像，寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間；同時寫出函數(shù)的值域．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


函數(shù)f(x)＝ax＋b的零點是－1(a≠0)，則函數(shù)g(x)＝ax2＋bx的零點是(　　)

A．－1                               B．0

C．－1和0                           D．1和0

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知函數(shù)f(x)的圖象如圖，則它的一個可能的解析式為(　　)

A．y＝2                           B．y＝4－

C．y＝log3(x＋1)                      D．y＝x(x≥0)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


已知一元二次不等式f(x)<0的解集為{x|x<－1或x>}，則f(10x)>0的解集為(　　)

A．{x|x<－1或x>－lg2}               B．{x|－1<x<－lg2}

C．{x|x>－lg2}                       D．{x|x<－lg2}

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：


在斜三角形ABC中，sinA＝－cosB·cosC，且tanB·tanC＝1－，則角A的值為(　　)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案